Matematika Ipa Um-Ugm 2016 Instruksi 582 [Soal Dan Pembahasan]

Hai, teman-teman pecinta matematika. Catatan Matematika kembali menyebarkan soal dan pembahasan nih! Lho apa tidak bosan berbagi? Apa tidak lelah berbagi? Tentu tidak lantaran menyebarkan itu indah. Dan saya berharap teman-teman pembaca juga jangan pernah lelah untuk berguru dan berdiskusi secara online di Catatan Matematika. Oh iya.... kalian juga dapat ikut menyebarkan kok! Caranya? gampang... silahkan share ke postingan ini ke teman-teman, saudara, siswa/i bapak ibu guru. Oke pribadi aja disimak Soal dan Pembahasan Matematika IPA UM-UGM 2016 Kode 582 berikut ini.

Matematika IPA UM-UGM 2016 No. 1

Semua nilai $x$ yang memenuhi $|x+1| > x+3$ dan $|x+2| < 3$ yakni …

A. $x < -2$

B. $-5 < x < -2$

C. $x > -5$

D. $-5 < x < 1$

E. $x > 1$

Pembahasan:

$|x+1| > x+3$

${{(x+1)}^{2}} > {{(x+3)}^{2}}$

${{x}^{2}}+2x+1 > {{x}^{2}}+6x+9$

$-4x > -8$

$-4x > -8$

$x < 2$…. (1)

$|x+2| < 3$

${{(x+2)}^{2}} < {{3}^{2}}$

${{x}^{2}}+4x+4 < 9$

${{x}^{2}}+4x-5 < 0$

$(x+5)(x-1) < 0$

$-5 < x < 1$ …. (2)

Dari irisan dari (1) dan (2) diperoleh penyelesaian: $-5 < x < 1$

Kunci: D

Matematika IPA UM-UGM 2016 No. 2

Diketahui sukubanyak $p(x)$ kalau dibagi dengan $({{x}^{2}}-2x)$ sisanya $(2-3x)$ dan kalau dibagi $({{x}^{2}}+x-2)$ sisanya $(x+2)$. Jika $p(x)$ dibagi dengan $({{x}^{2}}-3x+2)$ maka sisanya yakni ….

A. $x-10$

B. $-x+10$

C. $-7x-10$

D. $7x-10$

E. $-7x+10$

Pembahasan:

Yang dibagi = pembagi x hasil + sisa

$p(x)=({{x}^{2}}-2x).hasil+2-3x$

$p(x)=x(x-2).hasil+2-3x$

$p(2)=2(2-2).hasil+2-3.2$

$p(2)=-4$

$p(x)=({{x}^{2}}+x-2).hasil+x+2$

$p(x)=(x+2)(x-1).hasil+x+2$

$p(1)=(1+2)(1-1).hasil+1+2$

$p(1)=3$

$p(x)=({{x}^{2}}-3x+2).hasil+ax+b$

$p(x)=(x-2)(x-1).hasil+ax+b$

$p(2)=2a+b=-4$

$p(1)=a+b=3$

------------------------ (-)

$a=-7$

$a+b=3\Leftrightarrow -7+b=3\Leftrightarrow b=10$

Sisa = $ax+b=-7x+10$

Kunci: E

Matematika IPA UM-UGM 2016 No. 3

Jika ${{x}_{1}}$ dan ${{x}_{2}}$ memenuhi persamaan $(2\log x-1).\frac{1}{{}^{x}\log 10}=\log 10$ maka ${{x}_{1}}.{{x}_{2}}$ = …

A. $5\sqrt{10}$   B. $4\sqrt{10}$   C. $3\sqrt{10}$   D. $2\sqrt{10}$   E. $\sqrt{10}$

Pembahasan:

$(2\log x-1).\frac{1}{{}^{x}\log 10}=\log 10$

$(2\log x-1).{}^{10}\log x=\log 10$

$(2\log x-1).\log x=1$

$2{{\log }^{2}}x-\log x-1=0$

$(2\log x+1)(\log x-1)=0$

$\log x=-\frac{1}{2}$ atau $\log x=1$

${{x}_{1}}={{10}^{-\frac{1}{2}}}=\frac{1}{\sqrt{10}}$ atau ${{x}_{2}}=10$

${{x}_{1}}.{{x}_{2}}=\frac{1}{\sqrt{10}}.10=\sqrt{10}$

Kunci: E

Matematika IPA UM-UGM 2016 No. 4

Diketahui ${{x}_{1}}$ dan ${{x}_{2}}$ merupakan akar-akar $4{{x}^{2}}-7x+p=0$ dengan ${{x}_{1}} < {{x}_{2}}$. Jika ${}^{2}\log \left( \frac{1}{3}{{x}_{1}} \right)=-2-{}^{2}\log {{x}_{2}}$, maka $4{{x}_{1}}+{{x}_{2}}$ = ….

A. $\frac{19}{4}$   B. 4   C. $\frac{15}{4}$   D. $\frac{13}{4}$   E. 3 

Pembahasan:

${}^{2}\log \left( \frac{1}{3}{{x}_{1}} \right)=-2-{}^{2}\log {{x}_{2}}$

${}^{2}\log \left( \frac{1}{3}{{x}_{1}} \right)={}^{2}\log {{2}^{-2}}-{}^{2}\log {{x}_{2}}$

${}^{2}\log \left( \frac{1}{3}{{x}_{1}} \right)={}^{2}\log \left( \frac{1}{4}.{{x}_{2}} \right)$

$\frac{1}{3}{{x}_{1}}=\frac{1}{4}{{x}_{2}}$

$\frac{1}{3}{{x}_{1}}=\frac{1}{4}{{x}_{2}}\Leftrightarrow {{x}_{2}}=\frac{4}{3}{{x}_{1}}$

Dari $4{{x}^{2}}-7x+p=0$ diperoleh:

${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\frac{-b}{a}=\frac{7}{4}$ 

${{x}_{1}}+\frac{4}{3}{{x}_{1}}=\frac{7}{4}$

$12{{x}_{1}}+16{{x}_{1}}=21$

${{x}_{1}}=\frac{21}{28}=\frac{3}{4}$

${{x}_{2}}=\frac{4}{3}{{x}_{1}}\Leftrightarrow {{x}_{2}}=\frac{4}{3}.\frac{3}{4}\Leftrightarrow {{x}_{2}}=1$

$4{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=4.\frac{3}{4}+1=4$

Kunci: B

Matematika IPA UM-UGM 2016 No. 5

Luas kawasan yang dibatasi oleh kurva $y=2\cos x$, $y=1$, sumbu $X$ dan sumbu $Y$ yakni …

A. $\frac{\pi }{6}+\int\limits_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}}{2\cos xdx}$

B. $\frac{\pi }{3}+\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}}{2\cos xdx}$

C. $\frac{\pi }{3}+\int\limits_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}}{2\cos xdx}$

D. $\frac{\pi }{2}+\int\limits_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}}{2\cos xdx}$

E. $\frac{\pi }{2}+\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}}{2\cos xdx}$

Pembahasan:

Perhatikan skema gambar di bawah ini!

L = Luas kawasan berwarna pink + Luas berwarna hijau

$L=\frac{\pi }{3}+\int\limits_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}}{2\cos x)dx}$ 

Kunci: C

Matematika IPA UM-UGM 2016 No. 6

Empat siswa pria dan tiga siswa wanita bangkit dalam suatu barisan. Banyaknya cara semoga ketiga siswa wanita berdampingan di barisan tersebut yakni …

A. 720  B. 360   C. 144   D. 72   E. 48

Pembahasan:

L = laki-laki

P = perempuan 

Kemungkinan-kemungkinan yang terjadi adalah:

LLLLPPP = 4! x 3! = 144

LLLPPPL = 4! x 3! = 144

LLPPPLL = 4! x 3! = 144

LPPPLLL = 4! x 3! = 144

PPPLLLL = 4! x 3! = 144

Seluruhnya = 5 x 144 = 720 cara.

Kunci: A

Matematika IPA UM-UGM 2016 No. 7

Untuk suatu sudut $x$ dan $y$ berlaku:

${{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}y=\frac{3}{2}a$

${{\cos }^{2}}x+{{\sin }^{2}}y=\frac{1}{2}{{a}^{2}}$

Jumlah semua nilai $a$ yang mungkin untuk sistem persamaan di atas yakni …

A. -5   B. -4   C. -3   D. 3   E. 4

Pembahasan:

${{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}y=\frac{3}{2}a$

${{\cos }^{2}}x+{{\sin }^{2}}y=\frac{1}{2}{{a}^{2}}$

-------------------------- (+)

${{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x+{{\cos }^{2}}y+{{\sin }^{2}}y=\frac{3}{2}a+\frac{1}{2}{{a}^{2}}$

$1+1=\frac{3}{2}a+\frac{1}{2}{{a}^{2}}$

$\frac{1}{2}{{a}^{2}}+\frac{3}{2}a-2=0$

${{a}^{2}}+3a-4=0$

$(a+4)(a-1)=0$

$a=-4$ atau $a=1$

$a=-4$ tidak memenuhi ${{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}y=\frac{3}{2}a$, jadi nilai a yang memenuhi hanya $a=1$.

Jumlah semua nilai a yang memenuhi yakni 1.

Kunci: Tidak ada opsi.

Matematika IPA UM-UGM 2016 No. 8

Diketahui 10, ${{x}_{2}}$, ${{x}_{3}}$, ${{x}_{4}}$ membentuk barisan geometri. Jika ${{x}_{2}}-10$, ${{x}_{3}}-10$ dan ${{x}_{4}}-{{x}_{3}}-{{x}_{2}}-10$ membentuk barisan aritmetika, maka nilai ${{x}_{4}}$ yakni …

A. $\frac{10}{27}$   B. $\frac{5}{4}$   C. 80   D. 270   E. 640

Pembahasan:

Barisan aritmetika:

${{x}_{2}}-10$, ${{x}_{3}}-10$ dan ${{x}_{4}}-{{x}_{3}}-{{x}_{2}}-10$, maka:

$2({{x}_{3}}-10)={{x}_{2}}-10+{{x}_{4}}-{{x}_{3}}-{{x}_{2}}-10$

$2{{x}_{3}}-20={{x}_{4}}-{{x}_{3}}-20$

$3{{x}_{3}}={{x}_{4}}$

Barisan geometri:

10, ${{x}_{2}}$, ${{x}_{3}}$, ${{x}_{4}}$, maka:

$x_{2}^{2}=10{{x}_{3}}\Leftrightarrow {{x}_{2}}=\sqrt{10{{x}_{3}}}$

$x_{3}^{2}={{x}_{2}}.{{x}_{4}}$

$\frac{x_{3}^{2}}{{{x}_{4}}}={{x}_{2}}$

$\frac{x_{3}^{2}}{{{x}_{4}}}=\sqrt{10{{x}_{3}}}$

$\frac{x_{3}^{2}}{3{{x}_{3}}}=\sqrt{10{{x}_{3}}}$

$\frac{{{x}_{3}}}{3}=\sqrt{10{{x}_{3}}}$

${{x}_{3}}=3\sqrt{10{{x}_{3}}}$

$x_{3}^{2}=90{{x}_{3}}$

${{x}_{3}}=90$

${{x}_{4}}=3{{x}_{3}}\Leftrightarrow {{x}_{4}}=3.90=270$

Kunci: D

Matematika IPA UM-UGM 2016 No. 9

Jika $a$, 4, $b$ yakni tiga suku berurutan dari barisan aritmetika dan $a$, 3, $b$ merupakan tiga suku berurutan suatu barisan geometri, maka $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$ = …

A. $\frac{1}{4}$   B. $\frac{1}{2}$   C. $\frac{3}{4}$   D. $\frac{8}{9}$   E. $\frac{9}{8}$ 

Pembahasan:

Barisan aritmetika: $a$, 4, $b$, maka:

$2.4=a+b=8$

Barisan geometri: $a$, 3, $b$, maka:

${{3}^{2}}=ab=9$ 

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{a+b}{ab}=\frac{8}{9}$

Kunci: D

Matematika IPA UM-UGM 2016 No. 10

$\underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\frac{(x+6)\tan (2x-6)}{({{x}^{2}}-x-6)}$ = …

A. $-\frac{18}{5}$   B. $-\frac{9}{5}$   C. $\frac{9}{5}$   D. $\frac{18}{5}$   E. $\frac{27}{5}$

Pembahasan:

$\underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\frac{(x+6)\tan (2x-6)}{({{x}^{2}}-x-6)}$

$=\underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\frac{(x+6)\tan 2(x-3)}{(x+2)(x-3)}$

$=\underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\frac{(x+6)}{(x+2)}.\frac{\tan 2(x-3)}{(x-3)}$

$=\frac{(3+6)}{(3+2)}.\frac{2}{1}=\frac{18}{5}$

Kunci: D

Matematika IPA UM-UGM 2016 No. 11

Jika fungsi $g(x)=p\sqrt{{{x}^{2}}-4}$ naik pada $\{x\in R|x\le -2\}$ dan turun pada $\{x\in R|x\ge 2\}$, maka himpunan semua nilai $p$ memenuhi yakni …

A. $\varnothing $

B. $\{p\in R|p\ge 2\}$

C. $\{p\in R|p > 0\}$

D. $\{p\in R|p < 0\}$

E. $\{p\in R|p\le -2\}$

Pembahasan:

$g(x)=p\sqrt{{{x}^{2}}-4}$

(1) fungsi g(x) naik maka $g'(x) > 0$

$g'(x)=p.2x{{({{x}^{2}}-4)}^{-\frac{1}{2}}} > 0$

$\frac{2px}{\sqrt{{{x}^{2}}-4}} > 0$; nilai $\sqrt{{{x}^{2}}-4} > 0$ kita peroleh:

$2px\ge 0$, lantaran $x < -2$ maka nilai $p < 0$.

(2) fungsi g(x) turun maka $g'(x) < 0$

$\frac{2px}{\sqrt{{{x}^{2}}-4}} < 0$; nilai $\sqrt{{{x}^{2}}-4} > 0$ kita peroleh:

$2px < 0$, lantaran $x > 2$ maka nilai $p < 0$.

Dari (1) dan (2) kita peroleh penyelesaiannya yakni $\{p\in R|p < 0\}$.

Kunci: D

Matematika IPA UM-UGM 2016 No. 12

Diketahui titik $(1,p)$ berada pada bundar ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2y=0$. Persamaan bundar dengan sentra $(1,p)$ dan menyinggung garis $px+y=4$ yakni ….

A. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x-2y-2=0$

B. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x-2y-1=0$

C. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x-2y=0$

D. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+2y-2=0$

E. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+2y-1=0$

Pembahasan:

${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2y=0$ melalui titik $(1,p)$, maka:

${{1}^{2}}+{{p}^{2}}-2p=0$

${{(p-1)}^{2}}=0\Leftrightarrow p=1$

Panjang jari-jari bundar yakni jarak titik $(1,p)=(1,1)$ ke garis singgung $px+y=4$ $\Leftrightarrow x+y-4=0$, yaitu:

$r=\left| \frac{1+1-4}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{1}^{2}}}} \right|=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$ 

Persaman lingkaran:

${{(x-1)}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}={{(\sqrt{2})}^{2}}$

${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x-2y=0$

Kunci: C

Matematika IPA UM-UGM 2016 No. 13

Jika $0 < x <\frac{\pi }{2}$ dan $2{{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x=\frac{34}{25}$ maka nilai $\tan x$ = …

A. $-\frac{3}{4}$   B. $-\frac{3}{5}$   C. $\frac{3}{4}$  D. $\frac{3}{5}$   E. $\frac{4}{5}$ 

Pembahasan:

$2{{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x=\frac{34}{25}$

${{\sin }^{2}}x+{{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x=\frac{34}{25}$

${{\sin }^{2}}x+1=\frac{34}{25}$

${{\sin }^{2}}x=\frac{9}{25}$; $0 < x <\frac{\pi }{2}$

$\sin x=\frac{3}{5}=\frac{de}{mi}$ 

$sa=\sqrt{{{5}^{2}}-{{3}^{2}}}=4$ 

$\tan x=\frac{de}{sa}=\frac{3}{4}$

Kunci: C

Matematika IPA UM-UGM 2016 No. 14

Diketahui vektor OA = (1, 2) dan vektor OB = (2, 1). Jika titik P terletak pada AB sehingga AP : PB = 1 : 2, maka panjang vektor OP yakni …

A. $\frac{3}{2}\sqrt{2}$

B. $\frac{1}{3}\sqrt{2}$

C. $\frac{2}{3}\sqrt{2}$

D. $\frac{1}{3}\sqrt{41}$

E. $\frac{3}{2}\sqrt{41}$

Pembahasan:

$\overrightarrow{AP}:\overrightarrow{PB}=1:2$

$\frac{\overrightarrow{AP}}{\overrightarrow{PB}}=\frac{1}{2}$

$2\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{PB}$

$2(\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA})=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OP}$

$3\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}$, misal titik P(x,y)

$3\overrightarrow{OP}=\left( \begin{matrix}   1  \\   2  \\ \end{matrix} \right)+2\left( \begin{matrix}   2  \\   1  \\ \end{matrix} \right)$

$3\overrightarrow{OP}=\left( \begin{matrix}   5  \\   4  \\ \end{matrix} \right)\Leftrightarrow \overrightarrow{OP}=\left( \begin{matrix}   {}^{5}/{}_{3}  \\   {}^{4}/{}_{3}  \\ \end{matrix} \right)$

$\left| \overrightarrow{OP} \right|=\sqrt{{{\left( \frac{5}{3} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{5}{4} \right)}^{2}}}$

$\left| \overrightarrow{OP} \right|=\sqrt{\frac{25}{9}+\frac{25}{16}}$

$\left| \overrightarrow{OP} \right|=\sqrt{\frac{25.16+25.9}{9.16}}$

$\left| \overrightarrow{OP} \right|=\sqrt{\frac{25(16+9)}{9.16}}$

$\left| \overrightarrow{OP} \right|=\frac{25}{12}$

Kunci: Tidak ada opsi.

Matematika IPA UM-UGM 2016 No. 15

Limas segiempat beraturan T.ABCD memiliki tinggi sama dengan dua kali panjang sisi ABCD. Jika titik E berada pada garis BC dengan BE : EC = 1 : 1 dan titik F berada pada garis TE dengan TF : FE = 1 : 3, maka panjang proyeksi FE pada ABCD yakni … kali sisi ABCD.

A. $\frac{9}{8}$   B. $\frac{5}{8}$  C. $\frac{4}{8}$  D. $\frac{3}{8}$  E. $\frac{1}{8}$

Pembahasan:

Perhatikan gambar berikut ini!

Misalkan panjang sisi ABCD yakni 2a, maka panjang OE = a

Proyeksi FE pada ABCD yakni F’E

Perhatikan segitiga TOE, TO sejajar dengan FF’ maka berlaku intersept segitiga yaitu:

$TF:FE=OF':F'E$

$1:3=OF':F'E$

$F'E=3OF'$

$F'E=3(OE-F'E)$

$F'E=\frac{3}{4}OE$

$F'E=\frac{3}{4}a$

$F'E$ = y kali sisi ABCD, y = …?

$\frac{3}{4}a=y.2a\Leftrightarrow y=\frac{3}{8}$

Kunci: D

Baca juga:

Kumpulan Soal dan Pembahasan Matematika UM-UGM