Prinsip Teleskoping

PRINSIP TELESKOPING
Prinsip teleskopik banyak dipakai untuk menyederhanakan suatu deret. Ada dua bentuk umum yang dikenal, adalah penjumlahan dan perkalian sebagai berikut:
a. Prinsip Teleskopik Penjumlahan
$\sum\limits_{i=1}^{n}{({{a}_{i+1}}-{{a}_{i}})}$
$=({{a}_{2}}-{{a}_{1}})+({{a}_{3}}-{{a}_{2}})+({{a}_{4}}-{{a}_{3}})+...+({{a}_{n}}-{{a}_{n-1}})+({{a}_{n+1}}-{{a}_{n}})$
$={{a}_{n+1}}-{{a}_{1}}$

b. Prinsip Teleskopik Perkalian

$=\prod\limits_{i=1}^{n}{\frac{{{a}_{i+1}}}{{{a}_{i}}}}$ 

$=\frac{{{a}_{2}}}{{{a}_{1}}}.\frac{{{a}_{3}}}{{{a}_{2}}}.\frac{{{a}_{4}}}{{{a}_{3}}}...\frac{{{a}_{n}}}{{{a}_{n-1}}}.\frac{{{a}_{n+1}}}{{{a}_{n}}}$

$=\frac{{{a}_{n+1}}}{{{a}_{1}}}$

Contoh 1.

$\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+\frac{1}{4.5}+ ...+\frac{1}{2005.2006}=...$
Pembahasan:
$\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$
maka soal:
$\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+ ...+\frac{1}{2004.2005}+\frac{1}{2005.2006}=$ diubah menjadi:
$=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+ ...+\frac{1}{2004}-\frac{1}{2005}+\frac{1}{2005}-\frac{1}{2006}$
Jika kita perhatikan suku kedua dan seterusnya dijumlahkan setiap dua suku maka balasannya nol, maka diperoleh
$=1-\frac{1}{2006}$
$=\frac{2005}{2006}$

Contoh 2.
$\left( 1+\frac{1}{1} \right)\left( 1+\frac{1}{2} \right)\left( 1+\frac{1}{3} \right)\left( 1+\frac{1}{4} \right)...\left( 1+\frac{1}{n} \right) = ... $
Pembahasan:
$\left( 1+\frac{1}{1} \right)\left( 1+\frac{1}{2} \right)\left( 1+\frac{1}{3} \right)\left( 1+\frac{1}{4} \right)...\left( 1+\frac{1}{n-1} \right)\left( 1+\frac{1}{n} \right)$
$=2.\frac{3}{2}.\frac{4}{3}.\frac{5}{4}...\frac{n}{n-1}.\frac{n+1}{n}$
dengan melihat referensi di atas, diperoleh saling membagi sehingga balasannya menjadi
$=n+1$
Jadi,
$\left( 1+\frac{1}{1} \right)\left( 1+\frac{1}{2} \right)\left( 1+\frac{1}{3} \right)...\left( 1+\frac{1}{n} \right)=n+1$