Keterbagian (Divisibilitas)

TEOREMA EUCLIDIAN

Misalkan $a$ dan $b$ ialah dua bilangan lingkaran dengan syarat $b > 0$. Jika $a$ dibagi dengan $b$ maka terdapat dua bilangan tunggal $q$ (quotient) dan $r$ (remainder) sedemjkian sehingga:
$a = q.b + r$
dengan $0 \le r < b$
Keterangan:
$q$ = hasil bagi
$r$ = sisa pembagian.

Jika b membagi habis a atau a habis dibagi oleh b maka sisanya ialah 0.

Dituliskan: a = q.b atau b|a

CIRI-CIRI BILANGAN HABIS DIBAGI
A. Bilangan habis dibagi 2
Ciri-cirinya:

• angka satuannya habis dibagi 2.
• penjumlahan beberapa bilangan ganjil, dimana bilangan ganjil yang dijumlahkan sebanyak genap.
• merupakan perkalian dua bilangan berurutan, seperti: 1x2, 2x3, 3x4, 4x6, ..., (n-1)n, n(n+1), (n+1)(n+2), dll.

Contoh:

Jika bilangan 35b7a habis dibagi dua dengan a, b, berbeda, maka nilai maksimum a + b ialah ...

Pembahasan:

karena 35b7a habis dibagi dua maka a harus bilangan genap,

a + b akan maksimum jikalau a = 8 dan b = 9

a + b = 17.

B. Bilangan habis dibagi 3
Ciri-cirinya:

• jumlah semua digitnya habis dibagi 3.
• merupakan perkalian tiga bilangan berurutan, seperti: 1x2x3, 2x3x4, 3x4x5, ..., (n-3)(n-2)(n-1), n(n+1)(n+2), dll.
• merupakan penjumlahan tiga bilangan berurutan, seperti: (3 + 4 + 5).

Contoh:

Apakah bilangan-bilangan berikut habis dibagi 3 atau tidak?

a) 152

b) 3552 

c) 124578

Penyelesaian: 

a) 152 jumlah digit 1 + 5 + 2 = 8,

     8 tidak habis dibagi 3, maka:

     152 tidak habis dibagi 3.

b) 3552 jumlah digit 3 + 5 + 5 + 2 = 15,

    15 habis dibagi 3, maka:

    3552 habis dibagi 3.

c) 124578, jumlah digit 1 + 2 + 4 + 5 + 7 + 8  = 27,

    27 habis dibagi 3, maka:

    124578 habis dibagi 3.

C. Bilangan habis dibagi 4

Ciri-cirinya:

• dua digit terakhirnya habis dibagi 4.
• merupakan perkalian dua bilangan genap.
• bilangan berbentuk $2^n$, untuk $n > 1$

Contoh:

Manakah bilangan yang habis dibagi 4 dan berikan alasannya!

a) 384

b) 376596

Pembahasan:

a) 386 tidak habis dibagi 4, alasannya ialah dua digit terakhirnya yaitu 86 tidak habis dibagi 4.

b) 376596 habis dibagi 4, lantaran dua digit terakhirnya yaitu 96 habis dibagi 4.

D. Bilangan habis dibagi 5

Ciri-cirinya:

• Digit terakhirnya 0 atau 5.

E. Bilangan habis dibagi 6

Ciri-cirinya:

• Digit satuannya genap  dan jumlah digit-digitnya habis dibagi 3.
• perkalian 3 bilangan berurutan, menyerupai n(n+1)(n+2).

Contoh:

Tentukan nilai $x$ yang mungkin biar bilangan 74x habis dibagi 6.

Pembahasan:

agar bilangan 75x habis dibagi 6, maka:

x harus bilangan genap dan (7 + 4 + x) = (11 + x) habis dibagi 3.

kemungkinan-kemungkinannya:

11 + x = 12, x = 1 (tidak memenuhi lantaran x harus bilangan genap)

11 + x = 15, x = 4 (memenuhi)

11 + x = 18, x = 7 (tidak memenuhi lantaran x harus bilangan genap)

11 + x = 21, x = 10 (tidak memenuhi lantaran $0 \le x \le 9$

F. Bilangan habis dibagi 7

G. Bilangan habis dibagi 8

Ciri-cirinya:

• tiga digit terakhirnya habis dibagi 8.
• berbentuk $2^n$, untuk $n > 2$.
• jika 2 angka terakhir habis dibagi 8, maka angka ratusannya genap.
• jika 2 angka terakhir tidak habis dibagi 8, maka angka ratusannya ganjil.

Contoh:

Tentukan nilai m biar bilangan 2567m habis dibagi 8.

Pembahasan:

2567m, ratusannya genap (6) maka 7m habis dibagi 8, maka m = 2.

H. Bilangan habis dibagi 9

Ciri-cirinya:

• jumlah digit-digitnya habis dibagi 9.

Contoh:

Diketahui bilangan 20a17 habis dibagi 9, maka a = ...

Pembahasan:

jumlah digit-digitnya = 2 + 0 + a + 1 + 7 = a + 10 harus habis dibagi 9, maka a = 8.

I. Bilangan habis dibagi 11

Ciri-cirinya:

• jika selisih antara jumlah digit ganjil dengan jumlah digit genapnya habis dibagi 11.

Contoh: 

Apakah bilangan 10843162 habis dibagi 11?

Pembahasan:

10843162

Jumlah digit ganjil: 2 + 1 + 4 + 0 = 7

Jumlah digit genap: 6 + 3 + 8 + 1 = 18

Selisih jumlah digit ganjil dengan jumlah digit genap:

= 7 - 18

= -11

-11 habis dibagi 11, maka:

10843162 habis dibagi 11.

Demikianlah bahan hari ini wacana Keterbagian (Divisibilitas).
Motto: Berbagi Itu Indah