Pembahasan Matematika Dasar Um-Ugm 2018 No.1-10

Ujian Tulis Universitasi Gadjah Mada Tahun 2018 telah tamat dilaksanakan beberapa hari yang kemudian yaitu (08 Juli 2018). UTUL UGM 2018 yakni sebagai salah satu seleksi Ujian Mandiri UGM yang bertujuan untuk menyeleksi mahasiswa/mahasiswi gres untuk tahun akademik 2018/2019. Dan postingan kali ini yakni Soal dan Pembahasan Matematika Dasar UM-UGM 2018 Kode 585. Pembahasan ini saya bagi menjadi dua bab yaitu:

1. Pembahasan Matematika Dasar UM-UGM 2018 No.1-10
2. Pembahasan Matematika Dasar UM-UGM 2018 No.11-20

Silahkan dipelajari dan kalau ada yang memanfaatkan (publikasi) pembahasan ini mohon menyertakan link aslinya. Terima kasih.

Matematika Dasar UM UGM 2018 No. 1
Jika $\sqrt{{{3}^{-\frac{1}{2}}}+1}=\frac{\sqrt{a+1}}{{{3}^{-\frac{1}{4}}}}$ maka $a$ = …
A. $-\frac{2}{3}+{{3}^{-\frac{1}{2}}}$
B. $-\frac{1}{3}+{{3}^{-\frac{1}{2}}}$
C. $\frac{1}{3}-{{3}^{-\frac{1}{2}}}$
D. $\frac{1}{3}+{{3}^{-\frac{1}{2}}}$
E. $\frac{2}{3}+{{3}^{-\frac{1}{2}}}$
Pembahasan:
$\sqrt{{{3}^{-\frac{1}{2}}}+1}=\frac{\sqrt{a+1}}{{{3}^{-\frac{1}{4}}}}$
$\sqrt{\frac{1}{\sqrt{3}}+1}={{3}^{\frac{1}{4}}}.\sqrt{a+1}$
$\frac{1}{\sqrt{3}}+1={{3}^{\frac{1}{2}}}(a+1)$
$1+\sqrt{3}=3(a+1)$
$a+1=\frac{1+\sqrt{3}}{3}$
$a=\frac{1}{3}+\frac{\sqrt{3}}{3}-1$
$a=-\frac{2}{3}+{{3}^{-\frac{1}{2}}}$
Kunci: A

Matematika Dasar UM-UGM 2018 No. 2
Diberikan $y > x > 0$. Jika ${}^{9}\log ({{y}^{2}}-{{x}^{2}})=a$ dan ${}^{x+y}\log 3=b$, maka ${}^{27}\log (y-x)$ = …
A. $\frac{3ab+1}{2a}$
B. $\frac{3ab-1}{2a}$
C. $\frac{2ab-1}{3b}$
D. $\frac{2ab+1}{3a}$
E. $\frac{2ab-1}{3a}$
Pembahasan:
${}^{x+y}\log 3=b$
$\frac{1}{{}^{3}\log (x+y)}=b$
${}^{3}\log (x+y)=\frac{1}{b}$
${}^{9}\log ({{y}^{2}}-{{x}^{2}})=a$
${}^{{{3}^{2}}}\log ({{y}^{2}}-{{x}^{2}})=a$
$\frac{1}{2}.{}^{3}\log ({{y}^{2}}-{{x}^{2}})=a$
${}^{3}\log ({{y}^{2}}-{{x}^{2}})=2a$
${}^{3}\log (y+x)(y-x)=2a$
${}^{3}\log (y+x)+{}^{3}\log (y-x)=2a$
${}^{3}\log (y+x)+{}^{3}\log (y-x)=2a$
$\frac{1}{b}+{}^{3}\log (y-x)=2a$
${}^{3}\log (y-x)=2a-\frac{1}{b}$
${}^{3}\log (y-x)=\frac{2ab-1}{b}$
${}^{27}\log (y-x)={}^{{{3}^{3}}}\log (y-x)$
$=\frac{1}{3}.{}^{3}\log (y-x)$
$=\frac{1}{3}.\frac{2ab-1}{b}$
$=\frac{2ab-1}{3b}$
Kunci: C

Matematika Dasar UM-UGM 2018 No. 3

Diketahui garis $y=c-x$ memotong kurva $y=a{{x}^{2}}+bx-c$ dengan $a\ne 0$ di titik $(-2,5)$. Jika kurva tersebut simetris terhadap garis $x=1$, maka nilai $a+b+c$ yakni …

A. 1   B. 2   C. 3   D. 4   E. 5

Pembahasan:

$y=c-x$ melalui titik $(-2,5)$ maka:

$5=c-(-2)\Leftrightarrow 3=c$

$y=a{{x}^{2}}+bx-c$ melalui titik $(-2,5)$, maka:

$5=a{{(-2)}^{2}}+b(-2)-3$

$4a-2b=8\Leftrightarrow 2a-b=4$

Sumbu simetri:

$x=\frac{-b}{2a}=1\Leftrightarrow b=-2a$ 

Substitusi ke:

$2a-b=4$

$2a-(-2a)=4$

$4a=4\Leftrightarrow a=1$

$b=-2a\Leftrightarrow b=-2$

$a+b+c=1+(-2)+3=2$

Kunci: B

Matematika Dasar UM-UGM 2018 No. 4
Persamaan kuadrat $3{{x}^{2}}+8x-c=0$ memiliki akar-akar ${{x}_{1}}$ dan ${{x}_{2}}$ dengan ${{x}_{1}}=-\frac{1}{{{x}_{2}}}$. Jika ${{x}_{1}} > {{x}_{2}}$, maka persamaan kuadrat gres yang akar-akarnya $\frac{1}{{{x}_{1}}+1}$ dan $\frac{1}{{{x}_{2}}-2}$ yakni …
A. $10{{x}^{2}}-11x-3=0$
B. $10{{x}^{2}}+11x+3=0$
C. $20{{x}^{2}}-11x-3=0$
D. $20{{x}^{2}}+11x+3=0$
E. $20{{x}^{2}}-11x+3=0$
Pembahasan:
$3{{x}^{2}}+8x-c=0$
${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{8}{3}$
${{x}_{1}}=-\frac{1}{{{x}_{2}}}$
${{x}_{1}}.{{x}_{2}}=-1$
$\frac{-c}{3}=-1\Leftrightarrow c=3$
$3{{x}^{2}}+8x-c=0$
$3{{x}^{2}}+8x-3=0$
$(3x-1)(x+3)=0$, ${{x}_{1}} > {{x}_{2}}$
${{x}_{1}}=\frac{1}{3}$ atau ${{x}_{2}}=-3$
Persamaan kuadrat gres akar-akarnya:
$\alpha =\frac{1}{{{x}_{1}}+1}=\frac{1}{\frac{1}{3}+1}=\frac{3}{4}$ dan
$\beta =\frac{1}{{{x}_{2}}-2}=\frac{1}{-3-2}=-\frac{1}{5}$
$(x-\alpha )(x-\beta )=0$
$(x-\frac{3}{4})(x+\frac{1}{5})=0$ kali 20
$(4x-3)(5x+1)=0$
$20{{x}^{2}}-11x-3=0$
Kunci: C

Matematika Dasar UM-UGM 2018 No. 5

Jumlah semua nilai $x$ yang memenuhi $y-\frac{15}{x}=-(x+2)$ dan $x-y-3=0$ yakni …

A. $\frac{1}{2}$   B. 1   C. $\frac{3}{2}$   D. $\frac{5}{2}$   E. $\frac{7}{2}$

Pembahasan:

$x-y-3=0$

$x-3=y$

Substitusi ke:

$y-\frac{15}{x}=-(x+2)$

$x-3-\frac{15}{x}=-x-2$

$2x-1-\frac{15}{x}=0$  kali $x$

$2{{x}^{2}}-x-15=0$

Jumlah semua nilai $x$ adalah:

${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\frac{-b}{a}=\frac{-(-1)}{2}=\frac{1}{2}$

Kunci: A

Matematika Dasar UM-UGM 2018 No. 6

Himpunan semua nilai $x$ yang memenuhi $\frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{2x-1}}\ge 1$ yakni $\{x|x\in R,a < x < b\}$. Nilai $ab$ = …

A. -2   B. $-\frac{1}{2}$   C. 1   D. $\frac{5}{2}$   E. 2

Pembahasan:

Syarat:

* $x+1\ge 0\Leftrightarrow x\ge -1$  … (1)

* $2x-1 > 0\Leftrightarrow x > \frac{1}{2}$  … (2)

* $\frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{2x-1}}\ge 1$

$\frac{x+1}{2x-1}\ge 1$

$\frac{x+1}{2x-1}-1\ge 0$

$\frac{x+1}{2x-1}-\frac{2x-1}{2x-1}\ge 0$

$\frac{-x+2}{2x-1}\ge 0$

$(-x+2)(2x-1)\ge 0$

$(x-2)(2x-1)\le 0$

$\frac{1}{2}\le x\le 2$ … (3)

Dari irisan (1), (2), dan (3) diperoleh HP yakni $\frac{1}{2} < x \le 2$, $a=\frac{1}{2}$, $b=2$ maka $ab=\frac{1}{2}.2=1$

Kunci: C

Matematika Dasar UM-UGM 2018 No. 7

Nilai minimum dari $3x+2y-1$ untuk $x$ dan $y$ yang memenuhi $2x+y\ge 4$, $y-x\le 1$, $2y-x\ge -4$, $x\le 6$ dan $y\ge 0$ yakni …

A. 5   B. 6   C. 8   D. 9   E. 11

Pembahasan:

Gambarkan tempat himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan yang diberikan, menyerupai berikut ini:

Tentukan titik-titik sudut dari tempat himpunan penyelesaian.

Uji titik pojok:

Kunci: A

Matematika Dasar UM-UGM 2018 No. 8

Jika bilangan 2001 ditulis dalam bentuk

1 – 2 + 3 – 4 + … + $(n-2)$ – $(n-1)$ + $n$ maka jumlahan digit-digit dari bilangan $n$ sama dengan …

A. 5   B. 6   C. 7   D. 8   E. 9

Pembahasan:

1 + (-2 + 3) + (-4 + 5) + …+ [-$(n-1)$ + $n$] = 2001

(-2 + 3) + (-4 + 5) + …+ [-$(n-1)$ + $n$] = 2000

1 + 1 + …+ [-$(n-1)$ + $n$]  = 2000

$-(n-1)+n={{U}_{2000}}$ 

${{U}_{1}}=[-2.1+(2.1+1)]=(-2+3)$

${{U}_{2}}=[-2.2+(2.2+1)]=(-4+5)$

${{U}_{3}}=[-2.3+(2.3+1)]=(-6+7)$

….

${{U}_{2000}}=[-2.2000+(2.2000+1)]$

${{U}_{2000}}=-4000+4001$

${{U}_{2000}}=-(n-2)+n$

Maka $n=4001$

Jumlah digit-digit $n$ yakni 4 + 0 + 0 + 1 = 5

Kunci: A

Matematika Dasar UM-UGM 2018 No. 9

Diberikan tiga persegi. Panjang sisi persegi I, II, dan III membentuk barisan geometri. Keliling persegi I, II, dan III membentuk barisan aritmetika. Diketahui juga jumlah keliling ketiga persegi 14 meter. Panjang sisi persegi yang terkecil yakni …

A. 7/6   B. 1   C. 3/2   D. 1/2   E. 1/4

Pembahasan:

Barisan Geometri: $U_{n}^{{}}$ = panjang sisi persegi ke-n

${{U}_{1}}=a$, ${{U}_{2}}=ar$, ${{U}_{3}}=a{{r}^{2}}$

Barisan aritmetika: K = 4 x sisi

$4a$, $4ar$, $4a{{r}^{2}}$ berlaku:

$2.4ar=4a+4a{{r}^{2}}$

$2r=1+{{r}^{2}}$

${{r}^{2}}-2r+1=0$

${{(r-1)}^{2}}=0$

$r=1$

Jumlah keliling = 14

$4a+4ar+4a{{r}^{2}}=14$ 

$2a(1+r+{{r}^{2}})=7$

$2a(1+1+{{1}^{2}})=7$

$6a=7\Leftrightarrow a=\frac{7}{6}$

Kunci: A

Matematika Dasar UM-UGM 2018 No. 10

Diketahui matriks $A=\left( \begin{matrix}   5 & -3  \\   -2 & 1  \\ \end{matrix} \right)$. Jika ${{A}^{-1}}$ yakni invers matriks A dan ${{A}^{T}}$ yakni transpose matriks A, maka determinan matriks B yang memenuhi $AB={{A}^{-1}}+{{A}^{T}}$ yakni …

A. -41   B. -9   C. 9   D. 31   E. 41

Pembahasan:

$A=\left( \begin{matrix}   5 & -3  \\   -2 & 1  \\ \end{matrix} \right)\Leftrightarrow {{A}^{T}}=\left( \begin{matrix}   5 & -2  \\   -3 & 1  \\ \end{matrix} \right)$

${{A}^{-1}}=\frac{1}{5-6}\left( \begin{matrix}   1 & 3  \\   2 & 5  \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix}   -1 & -3  \\   -2 & -5  \\ \end{matrix} \right)$

$AB={{A}^{-1}}+{{A}^{T}}$

$\left( \begin{matrix}   5 & -3  \\   -2 & 1  \\ \end{matrix} \right)B=\left( \begin{matrix}   -1 & -3  \\   -2 & -5  \\ \end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix}   5 & -2  \\   -3 & 1  \\ \end{matrix} \right)$

$\left( \begin{matrix}   5 & -3  \\   -2 & 1  \\ \end{matrix} \right)B=\left( \begin{matrix}   4 & -5  \\   -5 & -4  \\ \end{matrix} \right)$

$\left| \begin{matrix}    5 & -3  \\   -2 & 1  \\ \end{matrix} \right|\left| B \right|=\left| \begin{matrix}   4 & -5  \\   -5 & -4  \\ \end{matrix} \right|$

$(5-6).\left| B \right|=(-16-25)$

$\left| B \right|=41$

Kunci: E

Baca juga:

Pembahasan Matematika Dasar UM-UGM 2018 No.11-20