Pembahasan Matematika Ipa Sbmptn 2018 Arahan 407

Hai, pengunjung www.catatanmatematika.com kembali aku melalui blog ini mengembangkan Soal dan Pembahasan Matematika IPA SBMPTN 2018 Kode 407. Perlu kita ketahui, bahwa soal-soal SBMPTN 2018/2019 terdiri dari beberapa arahan soal, dan beberapa soal pada setiap arahan soal ada yang sama. Jadi, kalau ada soal tidak aku bahas disini itu berarti telah di bahas pada postingan yang lain (keterangan lebih lanjut lihat di final postingan ini).

Matematika IPA SBMPTN 2018 Kode 407 No. 1
Jika nilai maksimum dan minimum fungsi $f(x)=a\cos x+b$ berturut-turut ialah 6 dan 2, maka nilai minimum fungsi $g(x)=2a\sin x+3b$ ialah …
A. -4    B. -2    C. 2     D. 4    E. 8
Pembahasan:
$f(x)=a\cos x+b$, Nilai maksimum = a + b, nilai minimum –a + b
$a+b=6$
$-a+b=2$
------------- (+)
$2b=8\Rightarrow b=4,a=2$
$g(x)=2a\sin x+3b$
$g(x)=4\sin x+12$
Nilai minimum = -4 + 12 = 8
Kunci: E

Matematika IPA SBMPTN 2018 Kode 407 No. 2
Diketahui gradien garis yang melalui titik O(0,0) dan P(a,b) ialah -3. Jika P dicerminkan terhadap sumbu y kemudian digeser 5 satuan ke atas dan 2 satuan ke kanan, maka gradien garis yang melalui P’ dan O(0,0) ialah 2. Titik P ialah …
A. (-2,6)    B. (-1,3)    C. (1,-3)    D. (2,-6)    E. (3,-9)
Pembahasan:
Gradien garis melalui O(0,0) dan P(a,b) ialah -3, maka:
$\frac{b}{a}=-3\Leftrightarrow b=-3a$
$P(a,b)\overset{C(sumbu-y)}{\mathop{\Rightarrow }}\,(-a,b)\overset{\left( \begin{smallmatrix}
 2 \\
 5
\end{smallmatrix} \right)}{\mathop{\Rightarrow }}\,P'(-a+2,b+5)$
Gradien garis melalui O(0,0) dan P’(-a + 2, b + 5) ialah 2, maka:
$\frac{b+5}{-a+2}=2$
$-2a+4=b+5$
$-2a=b+1$, sebelumnya: $b=-3a$, maka:
$-2a=-3a+1$
$a=1$, maka $b=-3a\Rightarrow b=-3$ diperoleh titik $P(a,b)=P(1,-3)$
Kunci: C

SBMPTN 2018 Matematika IPA Kode 402 No. 3

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk $2\sqrt{2}$ cm. Jika titik $P$ ditengah-tengah AB dan titik Q ditengah-tengah BC, maka jarak antara titik H dengan garis PQ ialah ... cm.

A. $\sqrt{15}$    B. 4    C. $\sqrt{17}$    D. $3\sqrt{2}$    E. $\sqrt{19}$

Pembahasan:

$AB=2\sqrt{2}\Rightarrow PB=\sqrt{2}$

$BC=2\sqrt{2}\Rightarrow BQ=\sqrt{2}$

$PQ=\sqrt{P{{B}^{2}}+B{{Q}^{2}}}\Leftrightarrow PQ=2$

Perhatikan segitiga HAP siku-siku di titik A, $AP=\sqrt{2}$, $AH=4$, maka:

$HP=\sqrt{A{{H}^{2}}+A{{P}^{2}}}$

$HP=\sqrt{{{4}^{2}}+{{(\sqrt{2})}^{2}}}$

$HP=3\sqrt{2}$, $HP=HQ$

Maka garis tinggi HR membagi dua PQ, sehingga $PR=\frac{1}{2}PQ=1$ 

jarak antara titik H dengan garis PQ ialah panjang HR.

Perhatikan segitiga PRH siku-siku di titik R, maka:

$HR=\sqrt{H{{P}^{2}}+P{{R}^{2}}}$

$HR=\sqrt{{{(3\sqrt{2})}^{2}}-{{1}^{2}}}$

$HR=\sqrt{17}$

Kunci: C

Matematika IPA SBMPTN 2018 Kode 407 No. 4

$\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sin (2x-4)}{2-\sqrt{6-x}}$ = …

A. -8     B. -2     C. 0     D. 2     E. 8

Pembahasan:

$\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sin (2x-4)}{2-\sqrt{6-x}}$

$=\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sin (2x-4)}{2-\sqrt{6-x}}\times \frac{2+\sqrt{6-x}}{2+\sqrt{6-x}}$

$=\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{(2+\sqrt{6-x})\sin (2x-4)}{4-(6-x)}$

$=\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{(2+\sqrt{6-x})\sin 2(x-2)}{(x-2)}$

$=\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,(2+\sqrt{6-x})\times \underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sin 2(x-2)}{(x-2)}$

$=(2+\sqrt{6-2})\times \frac{2}{1}$

$=8$

Kunci: E

Matematika IPA SBMPTN 2018 Kode 407 No. 5

Jika $a+2$, $a-2$, 2 membentuk barisan geometri, maka jumlah 11 suku pertama yang mungkin ialah …

A. 0     B. 1     C. 2     D. 3     E. 4

Pembahasan:

$a+2$, $a-2$, 2

Barisan Geometri:

$U_{2}^{2}={{U}_{1}}\times {{U}_{2}}$ 

${{(a-2)}^{2}}=(a+2).2$

${{a}^{2}}-4a+4=2a+4$

${{a}^{2}}-6a=0$

$a(a-6)=0$

$a=0$ atau $a=6$

Dengan melihat opsi, kita coba pilih $a=0$, maka barisan $a+2$, $a-2$, 2 menjadi:

2, $-2$, 2, $-2$, 2, $-2$, 2, $-2$, 2, $-2$, 2 (itu 11 suku pertama) yang kalau dijumlahkan balasannya 2.

Kunci: C

Matematika IPA SBMPTN 2018 Kode 407 No. 6

Daerah R dibatasi oleh $y={{x}^{4}}$, $y=1$, $x=2$, dan sumbu X positif. Volume benda putar yang didapat dengan memutar R terhadap sumbu X ialah …

A. $\frac{6}{9}\pi $     B. $\frac{8}{9}\pi $     C. $\frac{10}{9}\pi $     D. $\frac{12}{9}\pi $     E. $\frac{14}{9}\pi $

Pembahasan:

Kunci: C

SBMPTN 2018 Matematika IPA Kode 402 No. 7
Ari dan Ira merupakan anggota dari suatu kelompok yang terdiri dari 9 orang. Banyaknya cara menciptakan barisan, dengan syarat Ari dan Ira tidak berdampingan, ialah ...
A. $7 \times 8!$    B. $6 \times 8!$    C. $5 \times 8!$    D. $7 \times 7!$    E. $6 \times 7!$
Pembahasan:
Banyak barisan 9 orang secara bebas = 9!
Banyak barisan dengan Ari dan Ira berdampingan = 2!8!
Banyak barisan dengan Ari dan Ira tidak berdampingan adalah:
= 9! – 2!8!
= 9.8! – 2.8!
= 7 x 8!
Kunci: A

Matematika IPA SBMPTN 2018 Kode 407 No. 8

Jika bulat ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2Ax+By=0$ dan ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+Ax+2By=0$ berturut-turut berjari-jari 5 dan 10, maka jari-jari bulat ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+Ax+By=0$ ialah …

A. $\sqrt{5}$    B. $\sqrt{10}$    C. 5    D. 10    E. 15

Pembahasan:

Teori: Jika ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+Ax+By+C=0$ maka $r=\sqrt{\frac{{{A}^{2}}+{{B}^{2}}-4C}{4}}$

${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2Ax+By=0$, r = 5, dengan rumus jari-jari bulat maka diperoleh:

$5=\sqrt{\frac{{{(2A)}^{2}}+{{B}^{2}}-4.0}{4}}$

$25=\frac{4{{A}^{2}}+{{B}^{2}}}{4}$

$4{{A}^{2}}+{{B}^{2}}=100$ … persamaan (1)

${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+Ax+2By=0$, r = 10

$10=\sqrt{\frac{{{A}^{2}}+{{(2B)}^{2}}-4.0}{4}}$

$100=\frac{{{A}^{2}}+4{{B}^{2}}}{4}$

${{A}^{2}}+4{{B}^{2}}=400$… persamaan (2)

Jumlahkan persamaan (1) dan (2), diperoleh:

$5{{A}^{2}}+5{{B}^{2}}=500\Leftrightarrow {{A}^{2}}+{{B}^{2}}=100$

Pertanyaan: jari-jari bulat ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+Ax+By=0$?

$r=\sqrt{\frac{{{A}^{2}}+{{B}^{2}}-4.0}{4}}$

$r=\sqrt{\frac{100}{4}}=5$

Kunci: C

Matematika IPA SBMPTN 2018 Kode 407 No. 9

Sisa pembagian $p(x)={{x}^{3}}+a{{x}^{2}}+4x+2b+1$ oleh ${{x}^{2}}+4$ ialah $b-3a$. Jika $p(x)$ habis dibagi oleh $x+1$, maka ${{a}^{2}}+b$ = …

A. 1    B. 3    C. 5    D. 7    E. 9

Pembahasan:

$p(x)={{x}^{3}}+a{{x}^{2}}+4x+2b+1$ habis dibagi oleh $x+1$

$p(-1)={{(-1)}^{3}}+a{{(-1)}^{2}}+4(-1)+2b+1=0$

$-1+a-4+2b+1=0$

$a+2b=4$

$a+2(-1+a)=4$

$a-2+2a=4$

$3a=6\Leftrightarrow a=2$

$b=-1+a\Leftrightarrow b=-1+2=1$

${{a}^{2}}+b={{2}^{2}}+1=5$

Kunci: C

Matematika IPA SBMPTN 2018 Kode 407 No. 10

Jika garis singgung kurva $y=-2{{x}^{3}}$ di titik $P(a,b)$ memotong sumbu $y$ di titik $Q(0,4)$, maka $a+b$ ialah …

A. -1    B. $-\frac{1}{2}$    C. $-\frac{1}{4}$    D. $\frac{1}{4}$    E. 1

Pembahasan:

$P(a,b)$ melalui kurva $y=-2{{x}^{3}}$, maka:

$b=-2{{a}^{3}}$

Garis singgung melalui titik $P(a,b)$ dan (0,4), maka:

$m=\frac{b-4}{a}$

$\frac{dy}{dx}=-6{{x}^{2}}$ titik singgung di $P(a,b)$

$m={{\left. \frac{dy}{dx} \right|}_{x=a}}$

$\frac{b-4}{a}=-6{{a}^{2}}$

$\frac{-2{{a}^{3}}-4}{a}=-6{{a}^{2}}$

$-2{{a}^{3}}-4=-6{{a}^{3}}$

$4{{a}^{3}}=4$

$a=1$

$b=-2{{a}^{3}}\Leftrightarrow b=-{{2.1}^{3}}=-2$

Persamaan garis singgung melalui titik $P(a,b)$ dengan $m=-6{{a}^{2}}$

$y-{{y}_{1}}=m(x-{{x}_{1}})$

$y-b=-6{{a}^{2}}(x-a)$

$a+b=1+(-2)=-1$

Kunci: A

Matematika IPA SBMPTN 2018 Kode 407 No. 11

Jika $\int\limits_{0}^{4}{f(x)dx}=\sqrt{2}$, maka nilai $\int\limits_{0}^{2}{xf({{x}^{2}})dx}$ ialah …

A. $\frac{\sqrt{2}}{4}$    B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$    C. $\sqrt{2}$    D. $2\sqrt{2}$    E. $4\sqrt{2}$

Pembahasan:

$\int\limits_{0}^{4}{f(x)dx}=\sqrt{2}$

$\left. F(x) \right|_{0}^{4}=\sqrt{2}$

$F(4)-F(0)=\sqrt{2}$

$\int\limits_{0}^{2}{xf({{x}^{2}})dx}$

Misal: 

$u={{x}^{2}}\Leftrightarrow \frac{du}{dx}=2x\Leftrightarrow xdx=\frac{1}{2}du$

Maka:

$\int\limits_{0}^{2}{xf({{x}^{2}})dx}=\int\limits_{x=0}^{x=2}{\frac{1}{2}f(u)du}$

$=\left. \frac{1}{2}F(u) \right|_{x=0}^{x=2}$

$=\left. \frac{1}{2}F({{x}^{2}}) \right|_{x=0}^{x=2}$

$=\frac{1}{2}F({{2}^{2}})-\frac{1}{2}F({{0}^{2}})$

$=\frac{1}{2}\left[ F(4)-F(0) \right]$

$=\frac{1}{2}\sqrt{2}$

Kunci: B

SBMPTN 2018 Matematika IPA Kode 402 No. 12

Diketahui $(a_n)$ dan $(b_n)$ ialah dua barisan aritmetika dengan $a_1=5$, $a_2=8$, $b_1=3$, dan $b_2=7$. Jika A = {$a_1$, $a_2$, ..., $a_{100}$} dan B = {$b_1$, $b_2$, ..., $b_{100}$}, maka banyaknya anggota $A\cap B$ ialah ...

A. 20    B. 21    C. 22    D. 23    E. 24

Pembahasan:
$a_1=5$, $a_2=8$, b = 8 – 5 = 3, maka:
$b_1=3$, $b_2=7$, b = 7 – 3 = 4, maka:
A = {5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26,  29, 32, 35, 38, 41, 44, 47
B = {3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, 35, 39, 43, 47
Jika diperhatikan polanya maka:
$A\cap B$ = {${{a}_{3}}$, ${{a}_{7}}$, ${{a}_{11}}$, …, ${{a}_{n}}$}
Membentuk barisan aritmetika:
3, 7, 11, …, ${{U}_{n}}$ 
${{U}_{n}}=4n-1\le 100\Leftrightarrow n=25$
Jadi banyak anggota $A\cap B$ ialah 25. 
Kunci: Tidak ada opsi

SBMPTN 2018 Matematika IPA Kode 407 No. 13

Himpunan semua bilangan real $x$ pada selang $\left( \frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2} \right)$ yang memenuhi $\sec x(1+\tan x) < 0$ berbentuk (a, b). Nilai a + b ialah …

A. $\frac{5\pi }{4}$    B. $\frac{7\pi }{4}$    C. $2\pi $    D. $\frac{9\pi }{4}$    E. $\frac{11\pi }{4}$

Pembahasan:

$\sec x(1+\tan x) < 0$

$\frac{1}{\cos x}(1+\frac{\sin x}{\cos x}) < 0$

$\frac{1}{\cos x}.\frac{\cos x+\sin x}{\cos x} < 0$

$\frac{\cos x+\sin x}{{{\cos }^{2}}x} < 0$; alasannya ialah ${{\cos }^{2}}x > 0$ maka:

$\cos x+\sin x < 0$

Dengan pertolongan skema gambar! Kita peroleh himpunan penyelesaiannya adalah:

$\left( \frac{3\pi }{4},2\pi  \right)=(a,b)$

$a+b=\frac{3\pi }{4}+2\pi =\frac{11\pi }{4}$

Kunci: E

Matematika IPA SBMPTN 2018 Kode 407 No. 14

Himpunan semua nilai $c$ biar grafik $y={{2}^{2{{x}^{2}}+3x-c}}$ dan $y={{4}^{\frac{1}{2}{{x}^{2}}+\frac{1}{2}x+1}}$ berpotongan ialah …

A. {c: $c < -3$ atau $c > 3$}

B. {c: $c < 0$ atau $c > 4$}

C. {c: $c < -3$}

D. {c: $-4 < c < 4$}

E. {c: $-\infty < c < \infty$}

Pembahasan:

$y={{2}^{2{{x}^{2}}+3x-c}}$ dan $y={{4}^{\frac{1}{2}{{x}^{2}}+\frac{1}{2}x+1}}$

${{2}^{2{{x}^{2}}+3x-c}}={{4}^{\frac{1}{2}{{x}^{2}}+\frac{1}{2}x+1}}$

${{2}^{2{{x}^{2}}+3x-c}}={{({{2}^{2}})}^{\frac{1}{2}{{x}^{2}}+\frac{1}{2}x+1}}$

${{2}^{2{{x}^{2}}+3x-c}}={{2}^{{{x}^{2}}+x+2}}$

$2{{x}^{2}}+3x-c={{x}^{2}}+x+2$

${{x}^{2}}+2x-c-2=0$, $A=1$, $B=2$, $C=-c-2$ berpotongan maka:

$D>0$

${{b}^{2}}-4ac>0$

${{2}^{2}}-4.1.(-c-2)>0$

$4+4c+8>0$

$4c>-12$

$c>-3$

Kunci: Tidak ada opsi

SBMPTN 2018 Matematika IPA Kode 402 No. 15

Diketahui dua bulat $x^2+y^2=2$ dan $x^2+y^2=4$. Garis $l_1$ menyinggung bulat pertama di titik $(1,-1)$. Garis $l_2$ menyinggung bulat kedua dan tegak lurus dengan garis $l_1$. Titik potong garis $l_1$ dan $l_2$ ialah ...

A. ($1+\sqrt 2$, $\sqrt 2-1$)

B. ($1-\sqrt 2$, $\sqrt 2-1$)

C. ($1+\sqrt 2$, $\sqrt 2+1$)

D. ($1-\sqrt 2$, $\sqrt 2-2$)

E. ($1+\sqrt 2$, $\sqrt 2+2$)

Pembahasan:
${{l}_{1}}$ ialah persamaan garis singgung bulat $x^2+y^2=2$ di titik $(1,-1)$ maka:
${{l}_{1}}\equiv {{x}_{1}}.x+{{y}_{1}}.y={{r}^{2}}$
${{l}_{1}}\equiv x-y=2$
${{l}_{1}}\equiv y=x-2\Rightarrow {{m}_{1}}=1$
${{l}_{1}}\bot {{l}_{2}}\Rightarrow {{m}_{1}}.{{m}_{2}}=-1\Leftrightarrow {{m}_{2}}=-1$
${{l}_{2}}$ ialah persamaan garis singgung bulat $x^2+y^2=4$ dengan gradien $-1$
$y=mx\pm r\sqrt{{{m}^{2}}+1}$ 
$y=-x\pm 2\sqrt{2}$
${{l}_{2}}\equiv y=-x+2\sqrt{2}$ atau ${{l}_{2}}\equiv y=-x-2\sqrt{2}$
Titik potong garis ${{l}_{1}}\equiv y=x-2$ dan garis ${{l}_{2}}\equiv y=-x+2\sqrt{2}$ adalah:
$y=y$
$x-2=-x+2\sqrt{2}$
$2x=2+2\sqrt{2}\Leftrightarrow x=1+\sqrt{2}$
$y=x-2$
$y=1+\sqrt{2}-2\Leftrightarrow y=\sqrt{2}-1$
Titik potongnya ialah $\left( 1+\sqrt{2},\sqrt{2}-1 \right)$
Kunci: A

Soal dan Pembahasan Matematika IPA SBMPTN 2019
Baca juga: Kumpulan Soal dan Pembahasan Matematika SBMPTN