Barisan Dan Deret Bilangan Bertingkat

Barisan bilangan yakni himpunan bilangan-bilangan yang mempunyai teladan atau hukum tertentu antara satu bilangan dengan bilangan berikutnya.
Bentuk Umum:
$U_1, U_2, U_3, ..., U_n$

Deret Bilangan yakni jumlah bilangan-bilangan suatu barisan bilangan.
Bentuk Umum:
$U_1 + U_2 + U_3 + ... + U_n = S_n$

Nah, yang akan kita bahas kali ini yakni barisan yang mempunyai selisih (beda) tetap dan jikalau pada satu tingkat pengerjaan belum diperoleh selisih tetap, maka pengerjaan dilakukan pada tingkat berikutnya hingga diperoleh selisih tetap. Nah, tingkat perolehan selisih tetap ini menyatakan derajat suatu barisan. Perhatikan klarifikasi berikut:

1. Jika selisih tetap diperoleh dalam satu tingkat maka barisan disebut berderajat satu (linear), yang bentuk umum suku ke-n nya yakni $U_n = pn + q$.
Contoh 1.
Barisan 4, 7, 10, 13, ... disebut berderajat satu alasannya yakni selisih tetap diperoleh pada satu tingkat.


2. Jika selisih tetap diperoleh dalam dua tingkat maka barisan disebut berderajat dua, yang bentuk umum suku ke-n nya yakni $U_n = pn^2 + qn + r$.
Contoh 2.
Barisan bilangan: 8, 11, 16, 23, 32, ....


3. Jika selisih tetap diperoleh dalam tiga tingkat maka barisan disebut berderajat tiga, yang bentuk umum suku ke-n nya yakni $U_n = pn^3 + qn^2 + rn + s$.
Contoh 3.
Barisan bilangan: 7, 8, 14, 29, 57, ....

Demikian seterusnya....! Gimana paham kan? Tentu pahamlah yak... yang jelasin kan saya....! hehehehe..!

Kemudian muncul pertanyaan....! Bagaimana memilih Rumus Suku ke-n ($U_n$) dan Jumlah n suku pertama ($S_n$) barisan tersebut. Kalau barisan bertingkat satu niscaya sudah tahu ya kan....! Itu ada nama khususnya yaitu Barisan Aritmetika. Namun kita akan bahas juga dengan cara yang berbeda disini.

Baiklah...! Mari kita bahas bersama ya....., silahkan diperhatikan baik-baik ya....!
Rumus yang akan kita gunakan yakni sebagai berikut:
Rumus Suku ke-n:
$U_n = a + (n-1).a_1 + \frac{(n-1)(n-2)}{1.2}.a_2 + ... + \frac{(n-1)(n-2)(n-3)...}{1.2.3....}.a_r$
Rumus Jumlah n Suku Pertama:
$S_n = n.a + \frac{n(n-1)}{1.2}.a_1 + \frac{n(n-1)(n-2)}{1.2.3}.a_2 + ... + \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)...}{1.2.3.4....}.a_r$

Pembahasan Contoh 1.



Rumus Suku ke-n:
$\begin{align*}U_n &= a + (n-1).a_1\\
&= 4 + (n-1).3\\
&= 4 + 3n - 3\\
U_n &= 3n + 1\end{align*}$
Jumlah n Suku Pertama:
$\begin{align*}S_n &= n.a + \frac{n(n-1)}{1.2}.a_1\\
&= n.4 + \frac{n(n-1)}{1.2}.3\\
&= 4n + \frac{3n^2-3n)}{2}\\
&= \frac{8n}{2} + \frac{3n^2-3n)}{2}\\
S_n &= \frac{3n^2+5n}{2}\end{align*}$

Pembahasan Contoh 2.

Rumus Suku ke-n:
$\begin{align*}U_n &= a + (n-1).a_1 + \frac{(n-1)(n-2)}{1.2}.a_2\\
&= 8 + (n-1).3 + \frac{(n-1)(n-2)}{1.2}.2\\
&= 8 + 3n - 3 + n^2 - 3n + 2\\
U_n &= n^2 + 7\end{align*}$
Jumlah n Suku Pertama:
$\begin{align*}S_n &= n.8 + \frac{n(n-1)}{1.2}.3 + \frac{n(n-1)(n-2)}{1.2.3}.2\\
&= 8n + \frac{3n^2-3n}{2} + \frac{2n^3 - 6n^2 + 4n}{6}\\
&= \frac{48n}{6} + \frac{9n^2-9n}{6} + \frac{2n^3-6n^2+4n}{6}\\
S_n &=\frac{1}{6}.(2n^3 + 3n^2 + 43n)\end{align*}$

Pembahasan Contoh 3.


Rumus Suku ke-n:
$\begin{align*}U_n &= a + (n-1).a_1 + \frac{(n-1)(n-2)}{1.2}.a_2 + \frac{(n-1)(n-2)(n-3)}{1.2.3}.a_3\\
&= 7 + (n-1).1 + \frac{(n-1)(n-2)}{1.2}.5 + \frac{(n-1)(n-2)(n-3)}{1.2.3}.4\\
&= 7 + n - 1 + \frac{(n^2- 3n + 2).5}{2} + \frac{(n^3- 6n^2+11n-6).4}{6}\\
U_n &= \frac{1}{6}.(4n^3-9n^2+5n+42)\end{align*}$
Jumlah n suku pertama:
$\begin{align*}S_n &= n.a + \frac{n(n-1)}{1.2}.a_1 + \frac{n(n-1)(n-2)}{1.2.3}.a_2 + \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{1.2.3.4}.a_3\\
&= n.7 + \frac{n(n-1)}{1.2}.1 + \frac{n(n-1)(n-2)}{1.2.3}.5 + \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{1.2.3.4}.4\\
S_n &= \frac{1}{6}.(n^4-n^3-n^2+43 n)
\end{align*}$